Чем больше периодов начисления процентов

Чем больше периодов начисления процентов

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (j).

Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

  • во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;
  • во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит

Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

FV = PV • (1 + j/m) N = P • (1 + j/m) mn

где j – номинальная годовая ставка процентов.

Пример 9. Изменим условия предыдущего примера, введя ежеквартальное начисление процентов.

Решение:

Количество периодов начисления:

N =m • n = 4 • 2 = 8

Наращенная сумма составит:

FV = PV • (1 + j/m) mn = 2’000 • (1 + 0,1/4 ) 8 =

Сумма начисленных процентов:

I = FV — PV = 2’436,81 — 2’000 = 436,81 руб.

Таким образом, через два года на счете будет находиться сумма в размере 2’436,81 руб., из которой 2’000 руб. является первоначальной суммой, размещенной на счете, а 436,81 руб. – сумма начисленных процентов.

Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate), измеряющая тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m:

(1 + i) n = (1 + j/m) mn

Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.

Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Пример 10. Рассчитаем эффективную ставку для финансовой операции, рассмотренной в предыдущем примере, а также для вклада при ежемесячном начислении процентов по годовой ставке 10%.

Решение:

Эффективная ставка ежеквартального начисления процентов, исходя из 10% годовых, составит:

i = (1 + j/m) m — 1 = (1 + 0,1/4) 4 — 1 = 0,1038

Эффективная ставка ежемесячного начисления процентов будет равна:

i = (1 + j/m) m — 1 = (1 + 0,1/12) 12 — 1= 0,1047

Таким образом, годовая ставка, эквивалентная номинальной ставке процентов в размере 10% годовых при ежемесячном начислении процентов, составит 10,47% против 10,38% с ежеквартальным начислением процентов. Чем больше периодов начисления, тем быстрее идет процесс наращения.

Для облегчения расчетов можно пользоваться таблицами коэффициентов наращения сложных процентов, но внимательно следить за соответствием длины периода начисления и процентной ставки за этот же период. Например, если периодом начисления является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

Переменная ставка процентов

Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

Читайте также:  Сбербанк в чкаловском районе

где ik – последовательные во времени значения процентных ставок;

nk – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.

Пример. Фирма получила кредит в банке на сумму 100’000 долларов сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 10% для 1-го года, для 2-го года предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5%, для последующих лет 1%. Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа.

Решение:

Используем формулу переменных процентных ставок:

100’000 • (1 + 0,1) • (1 + 0,115) • (1 + 0,125) 3 =

Таким образом, сумма, подлежащая погашению в конце срока займа, составит 174’632,51 доллара, из которых 100’000 долларов являются непосредственно суммой долга, а 74’632,51 доллара – проценты по долгу.

Сложные проценты – это метод начисления, при котором сумма начисленных в каждом расчетном периоде процентов прибавляется к сумме капитала на начало расчетного периода и в следующем расчетном периоде начисление процентов производится на уже наращенную сумму. Процесс наращения некоторой суммы по сложным процентам называется капитализацией. Сложные проценты по декурсивному методу начисляются по формуле:

, (3.1)

где (1+i) n — коэффициент или множитель наращения. Для облегчения расчетов можно пользоваться таблицами коэффициентов наращения сложных процентов, которые приведены в приложении Б.

Пример 1. Банк ежегодно начисляет 18 % сложных. Клиент положил в банк 20000 грн. Какая сумма будет на счете через: а) 4 года; б) 5 лет и 3 месяца?

По формуле (3.1) находим сумму, которая будет на счете клиента.

а) 38775,56 грн;

б) срок операции n= 5,25 лет

FV=20000*(1+0,18) 5.25 = 47688,16 грн.

Таким образом, на счете клиента через 4 года будет сумма 38775,56 грн, через 5 лет и 3 месяца – 47688,16 грн.

В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

(3.2)

где ik – последовательные значения процентных ставок в соответствующие периоды времени nk.

Пример 2. Фирма получила кредит в банке на сумму 10000 грн. сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту определена в 17 % для 1-го года, для 2-го года предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1,5 %, для последующих лет 1 %. Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа.

Решение:

Используя формулу наращения сложных переменных процентных ставок (3,2):

FV = 10000 * (1 + 0,17) * (1 + 0,185) * (1+0,195) 3 = 23659,63 грн.

Таким образом, сумма, подлежащая погашению в конце срока займа, составит, 23659,63 грн., из которых 10000 грн. являются непосредственно суммой долга, а 13659,63 грн. – проценты по долгу.

Период начисления процентов по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка. Формула сложных процентов при начислении процентов чаще одного раза в год имеет следующий вид:

Читайте также:  Процесс ипотеки сначала как все происходит

где j – номинальная годовая ставка процентов,

m – число периодов начисления процентов в году.

Пример 3. Сумма в размере 20000 грн. дана в долг на 4 года по ставке процента равной 18 % годовых с ежеквартальным начислением процентов. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Решение:

Наращенная сумма, рассчитанная по формуле (3.3) составит:

Проценты найдем по формуле:

=40447,4-20000=20447,4 грн.

Таким образом, через 4 года необходимо вернуть сумму в размере 40447,4 грн., из которой 20000 грн. является первоначальной суммой, взятой в долг, а 20447,4 грн. – сумма начисленных процентов.

Эффективная ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и наращение m в год по ставке j:

Пример 4. Рассчитаем эффективную ставку для финансовой операции, рассмотренной в предыдущем примере, а также для вклада при ежемесячном начислении процентов по годовой ставке 18 %.

Решение:

Эффективная ставка ежеквартального начисления процентов, исходя из 18% годовых, составит:

i = (1 + j / m) m — 1 = (1 + 0,18 / 4) 4 — 1 = 0,1925=19,25 %.

Эффективная ставка ежемесячного начисления процентов будет равна:

i = (1 + j / m) m — 1 = (1 + 0,18 / 12) 12 — 1 = 0,1956=19,56 %.

Таким образом, годовая ставка, эквивалентная номинальной ставке процентов в размере 18 % годовых при ежемесячном начислении процентов, составит 19,56 % против 19,25 % с ежеквартальным начислением процентов. Чем больше периодов начисления, тем быстрее идет процесс наращения.

На практике, а чаще всего в теории, встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Формула наращенной суммы при непрерывном начислении процентов имеет следующий вид:

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера;

δ — ставка непрерывных процентов или сила роста..

Пример 5. Кредит в размере 10000 грн. получен сроком на 3 года под 20 % годовых. Определить сумму подлежащего возврату в конце срока кредита, если проценты будут начисляться:

а) один раз в год;

Решение:

Используем формулы дискретных и непрерывных процентов:

а) начисление один раз в год:

FV = 10000 * (1 + 0,2) 3 = 17289 грн.

б) ежедневное начисление процентов:

FV = 10000 * (1 + 0,2 / 365) 365*• 3 = 18218,19 грн

в) непрерывное начисление процентов:

FV = 10000 * e 0,2 • 3 = 18221,18 грн

Таким образом, возврату за кредит подлежат суммы в 17289 грн. при ежегодном начислении процентов, 18218,19 грн. – при ежедневном начислении процентов, 18221,18 грн – при непрерывном начислении процентов.

Начисление процентов по сложной учетной ставке или по антисипативному методу осуществляется по следующим формулам:

а) если проценты начисляются один раз в год

(3.6)

б) если проценты чаще одного раза в год

(3.7)

где f – номинальная годовая учетная ставка.

Формула для определения сложной ставки процентов, компенсирующей ожидаемую инфляцию, имеет следующий вид:

Пример 6. Определить номинальную ставку процентов для финансовой операции, если уровень эффективности должен составлять 17 % годовых, а годовой уровень инфляции 9 %.

Решение:

Процентная ставка с учетом инфляции

Читайте также:  Сколько получает павел воля в месяц

Таким образом, номинальная ставка должна составить 27,53 %. чтобы обеспечить реальную эффективность в 17 %.

Для расчета продолжительности финансовых операций и уровня процентных ставок можно воспользоваться формулами, приведенными в приложении В.

Дата добавления: 2014-10-31 ; Просмотров: 1543 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Методы финансово-экономических расчетов позволяют определять проценты, процентные деньги и процентные ставки, данные при начислении простых и сложных процентов, наращение средств по простой и сложной ставке процентов, данные для выполнения стоимостной оценки потоков финансовых платежей, данные для планирования погашения задолженности, кредитов, ссудит.

Практически все финансово-экономические расчеты, так или иначе, связаны с определением процентных денег. Процентными деньгами (процентами) называют сумму доходов от предоставления денег в долг в различных формах (выдачи ссуд, открытие депозитных счетов, покупка облигаций, сдача оборудования в аренду и др.). Ставки процентов могут быть простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной сумме долга на протяжении всего срока ссуды) или сложными (если они применяются к сумме долга с начисленными за предыдущие периоды процентами).

Учетные ставки аналогично могут быть простыми и сложными. Учетные ставки используются, когда сумма процентных денег определяется исходя из суммы, которая должна быть, возвращена.

  • 1. Формула сложных процентов:
  • В) FV = PV(1 + i)n
  • 2. Начисление по схеме сложных процентов предпочтительнее:
    • В) при долгосрочных финансовых операциях;
    • 3. Чем больше периодов начисления процентов:
      • А) тем медленнее идет процесс наращения;
      • 4. Номинальная ставка — это:
        • Б) отношение суммы процентов, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды;
        • 5. Наращение — это:
          • А) процесс увеличения капитала за счет присоединения процентов;
          • 6. Расчет наращенной суммы в случае дискретно изменяющейся во времени процентной ставки по схеме простых процентов имеет следующий вид:
            • В) FV = PV (1 + n1i1)(1 + n2i2) : (1 + nкiк)
            • 7. В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием:
              • Б) эффективной процентной ставки;
              • 8. Подход, при котором фактор времени играет решающую роль, называется:
                • А) временной;
                • Сумма в 24 т.р. инвестируется под процентную ставку 30 % годовых на 4 года. Найдите наращенную сумму при условии ежеквартального начисления простых и сложных процентов.

                  Сложные проценты = 24000* (1+0,3)4 = 68544 руб.

                  Простые проценты = 24000* (1+1460/365*0,3)=52800 руб.

                  Наращенная сумма равна 15744 руб.

                  Предприниматель взял в банке кредит в размере 90 т.р. под сложную процентную ставку 36 % годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Через 2 г. и 7 месяцев кредит был погашен суммой 201,421 т.р. Какую из двух основных схем начисления процентов использовал банк?

                  Расчет был сделан при сложной процентной ставке , так как сумма вклада превысила 1 год.

                  В долг на 3 года 6 месяцев предоставлена сумма 8 т.р. с условием возврата 20 т.р. Найдите эффективную процентную ставку в этой фин. операции.

                  Эффективная процентная ставка равна 43 , так как

                  Ссылка на основную публикацию
                  Adblock detector