Схема начисления простых процентов предполагает

Схема начисления простых процентов предполагает

Процентные ставки и методы их начисления

Предоставляя свои финансовые ресурсы в долг, их собственник рассчитывает получить определенный доход, в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год. Поэтому наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года.

Известны две основные схемы дисконтированного начисления процентов: схема простых процентов и схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть PV – исходный инвестируемый капитал, а требуемая доходность – r. Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Pr. Таким образом, размер инвестированного капитала на условиях простого процента () будет равен через n лет

_____________________________________(3.6)

Схема сложных процентов предполагает, что очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные, и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов, т.е. база с которой происходит начисление постоянно возрастает. Исходя из этого размер инвестированного капитала на условиях сложного процента () к концу n-го года будет равен

______________________________________(3.7)

Очень важно помнить, что

— при 0 1

Графически взаимосвязь простой и сложной схемы начисления процентов представлена на рис.3.2.

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов, для лица, предоставляющего кредит: выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода); более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно); обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода в один год и однократном начислении процентов (рис.2).

Рис. 3.2. Простая и сложная схема наращивания капитала

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов, для лица, предоставляющего кредит: выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода); более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно); обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода в один год и однократном начислении процентов (рис. 2).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 8801 — | 7169 — или читать все.

1. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая доходность — r(в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р*r. Таким образом, размер инвести­рованного капитала (Rn) через п лет будет равен:

Rn = P + P*r + … + P*r = P (1 + n*r).

2. Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инве­стированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее на­численные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала будет равен:

к концу n-го года: Fп= Р • (1+г) n .

В случае краткосрочных ссуд со сроком погашения до одного года в качестве показателя п берется величина, характеризующая удельный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год). Длина различных временных интервалов в расчетах может округ­ляться: месяц — 30 дней; квартал — 90 дней; полугодие — 180 дней; год -360 (или 365, 366) дней.

2. Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

На практике многие финансовые операции выполняются в рамках од­ного года, при этом могут использоваться различные схемы и методы на­числения процентов. В частности, большое распространение имеют краткосрочные ссуды, т.е. ссуды, предоставляемые на срок до одного года с однократным начислением процентов. Как отмечалось выше, в этом случае для кредитора, диктующего чаще всего условия финансового контракта, более выгодна схема простых процентов, при этом в расчетах используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле го­довой ставки, пропорциональной доле временного интервала в году.

F = P * (1 + f*r) или F = P * (1 + t/T*r),

где r — годовая процентная ставка в долях единицы;

t — продолжительность финансовой операции в днях;

Т- количество дней в году;

f— относительная длина периода до погашения ссуды.

Для наглядности формулу можно записать следующим обра­зом:

F = P * (1 + t*r/T),

т.е. дробь r представляет собой дневную ставку, а произведение t*r/T -ставку за t дней.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день.

В практике финансовых операций нередко оговаривается не только величина годового процента, но и количество периодов начисления процентов. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки, по формуле:

где r- объявленная годовая ставка;

т — количество начислений в году;

п — количество лет.

Модели инфляции

Инфляция характеризуется обесценением национальной валюты, снижением ее покупательной способности и общим повышением цен в стране. В таком случае инвестор может потерять часть дохода, а заемщик соответственно может выиграть за счет погашения задолженности деньгами сниженной покупательной способности. На этом основании необходимо установить количественные соотношения по определению влияния инфляции на показатели финансовой операции. Следует заметить, что если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция.

Читайте также:  Как мфо узнают номера телефонов родственников

Все показатели финансовой операции можно разделить на две группы: номинальные, рассчитанные в текущих ценах, и реальные, учитывающие влияние инфляции, рассчитанные в сопоставимых ценах базисного периода.

Для количественной оценки упомянутых процессов формируют определенный набор товаров и услуг, называемый потребительской корзиной, и фиксируют изменение ее стоимости в различные моменты времени. Состав потребительской корзины математически можно представить в виде n-мерного вектора:

где х- количество i-го вида товара или услуги в корзине:

п — количество товаров и услуг потребительской корзины.

В базисном периоде /о цены состава потребительской корзины можно представить в виде n-мерного вектора

а в анализируемом периоде tj соответственно вектором

Тогда стоимость потребительской корзины описывается скалярным произведением векторов и .

S= .

Стоимость корзины в базисном периоде t составит:

,

а в анализируемом периоде tj составит:

,

На этом основании полагают, что изменение (рост или падение) потребительских цен определяется безразмерным показателем, называемым индексом инфляции, который показывает, во сколько раз выросли цены;

а относительная величина уровня инфляции есть темп инфляции:

откуда следует, что индекс инфляции равен: Iи = 1 + α.

Уровень инфляции в процентах определяется так:

Индекс инфляции показывает, во сколько раз выросли цены, а уровень инфляции — на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период.

Рассмотрим различные варианты начисления процентов с учетом инфляции.

Для простых процентов обозначим iα ставку процентов, учитывающую инфляцию, тогда наращенную сумму можно определить по формуле

Затем, воспользовавшись уравнением связи Sα с S с помощью индекса инфляции:

откуда и получим модель определения ставки процентов, учитывающую инфляцию,

Реальная доходность операции при заданных и определяется по формуле

Для сложных процентов аналогично запишем два выражения:

из которых определим:

Эту формулу можно записать так:

по которой можно сравнивать и α (больше, равно или меньше), проводить экономический анализ эффективности вложений и установить, поглощается ли доход инфляцией или про реальный прирост вложенного капитала, а не убыток.

Дата добавления: 2016-04-11 ; просмотров: 473 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Наращение простыми процентами

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год, наиболее распространен вариант, когда этот год берется в качестве базового интервала и процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечению года после получения ссуды.

Известны две основные схемы дискретного начисления, т. е. начисления процентов за фиксированные в договоре интервалы времени:

  • • схема простых процентов;
  • • схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность величины, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая доходность — г (в десятичных дробях). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестируемый капитал ежегодно увеличивается на величину Рг. Таким образом, размер инвестируемого капитала F через п лет будет равен

т. е. проценты начисляются на одну и ту же величину капитала в течение всего срока.

Данное выражение называется формулой наращения по простым процентам, а множитель (1 + пг) — множителем наращения

(коэффициентом наращения) простых процентов. Очевидно, множитель наращения равен индексу роста капитала Р за п лет.

Приращение капитала / = Рпг пропорционально сроку ссуды и ставке процента, т. е. доход инвестора растет линейно с ростом п. Величина дохода I называется процентом (процентным платежом).

Пример 2.3. Найти величину процента и наращенную сумму за трехлетний кредит в 20 тыс. руб., взятый под 9% годовых.

Здесь Р = 20 тыс. руб., п = 3 года, г — 0,09. Тогда

  • • величина процента I =20 000 • 3 • 0,09 = 5,4 тыс. руб.;
  • • наращенная сумма F= Р + 1=20 000 + 5400 = 25,4 тыс. руб.

На практике процентная ставка г может зависеть от величины

исходного капитала Р: с увеличением капитала Р увеличивается и устанавливаемая ставка г. Например, если инвестируется капитал до 20 тыс. руб., то устанавливается одна ставка процента, если более 20 тыс. руб., то — другая (превышающая предыдущую).

Когда продолжительность финансовой операции п не равна целому числу лет (например, меньше года), наращение по простым процентам определяется по формуле

где t — продолжительность финансовой операции в днях;

Т — количество дней в году.

Тогда п = t/T — продолжительность финансовой операции в годах.

Сравнивая формулы (2.1) и (2.2), можно сделать вывод, что формула (2.1) носит общий характер, поскольку в качестве п можно рассматривать любое положительное число, необязательно целое.

Наращение по простым процентам применяется при обслуживании сберегательных вкладов с ежемесячной выплатой процентов и вообще в тех случаях, когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору.

Простые проценты применяются и при выдаче краткосрочных ссуд, т. е. ссуд, предоставляемых на срок до одного года с однократным начислением процентов.

Пример 2.4. Клиент поместил в банк вклад в сумме 3,5 тыс. руб. под 24% годовых с ежемесячной выплатой процентов. Какую сумму клиент будет получать каждый месяц?

По условию Р = 3,5 тыс. руб., п = 1/12 года, г = 0,24, тогда

Читайте также:  Сдача недвижимости в аренду как бизнес

Заметим, что если бы клиент не брал деньги, то к его вкладу каждый месяц прибавлялась бы сумма в 0,07 тыс. руб, поскольку начисление происходит по простым процентам, Если обозначить через Fk наращенную сумму через к месяцев, то последовательность F, F2,. ,Fk образует арифметическую прогрессию с первым членом а = 3,5 и разностью d = 0,07.

Определяя продолжительность финансовой операции, принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день.

Величины t и Т в случае измерения их в днях могут быть выражены точно или приближенно в таблице.

Фактически дней в месяце

Фактически дней в году (365 или 366)

Продолжительность месяца 30 дней

Продолжительность года 360 дней

В зависимости от сочетания t и Т, измеренных по-разному, на практике встречаются следующие способы расчетов:

  • t и Т измерены точно (365/365) — это значит начислить точные проценты с фактическим сроком операции. Для определения t пользуются специальной таблицей порядковых номеров дней в году: из номера дня окончания операции вычитают день ее начала;
  • t измерено точно, а Тприближенно (365/360). Этот способ используется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с фактическим сроком операции;
  • t и Т измерены приближенно (360/360). Этот способ применяется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с приближенным сроком операции, при некоторых расчетов с населением.

Пример 2.5. Ссуда в размере 60 тыс. руб. представлена 12 марта с погашением 15 августа того же года под процентную ставку 32% годовых. Рассчитать различными возможными способами сумму к погашению, если начисляются простые проценты и год високосный.

Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет.

Точное число дней определяется по известным финансовым таблицам:

Приближенное число дней ссуды равно:

Возможные варианты возврата долга (через F обозначена сумма к погашению):

t и Т измерены точно:

t измерено точно, а Т — приближенно:

t и Т измерены приближенно:

Отметим, что число точных и число приближенных дней ссуды могут значительно отличаться друг от друга, если срок ссуды более 360 дней, поэтому будут существенные различия в суммах к погашению.

При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходований средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму.

В банковской практике в этой ситуации используется правило: общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм.

Это касается и дебетовой (поступлений) и кредитовой (расходов) частей счета. Разница лишь в том, что кредитовые проценты вычитаются.

Иногда для начисления процентов на такие постоянные суммы используются процентные числа.

Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на дивизор.

Абсолютная сумма начисленных процентов:

Пример 2.6. Сберегательный счет был открыт 15 февраля, на него была положена сумма 5 тыс. руб. В следующем квартале 10 апреля на счет поступили 3 тыс. руб. Затем 20 мая со счета было снято 2 тыс. руб., 1 сентября добавлена сумма в 1 тыс. руб., и 4 декабря счет был закрыт. Все операции осуществлялись в течение невисокосного года. Определить сумму, полученную владельцем счета, если процентная ставка равнялась 12% годовых и применялся способ 365/360.

Для каждого поступления определяется срок хранения (исходя из даты поступления и даты закрытия счета) и процентное число. Если происходило изъятие денег, то соответствующее процентное число берется со знаком минус. Находим (учитывая знаки) сумму (сальдо) процентных чисел:

Процентное число, тыс. руб.

Общая величина начисленных процентов составит

Владелец счета получит: (5 + 3- 2 + 1) тыс. руб. + 0,624 тыс. руб. = 7,624 тыс. руб.

Переменные ставки и реинвестирование. Финансовое соглашение может предусматривать не только постоянную процентную ставку на весь период, но и устанавливать изменяющуюся во времени (переменную) ставку.

Пусть на интервалах начисления (в годах) п,п2. пт применялись простые процентные ставки и, i2. im соответственно, тогда наращенная сумма за время п = п + п2 +. + пт определяется по формуле

Пример 2.7. Вкладчик поместил в банк 15 тыс. руб. на следующих условиях: в первый год процентная ставка равна 20% годовых, каждые последующие полгода ставка повышается на 3%. Найти наращенную сумму за два года, если проценты начисляются только на первоначальную сумму вклада.

Наращенная сумма равна:

Пусть за период пк установлена процентная ставка iK, но при изменении (или без изменения) ставки наращенная к этому моменту сумма вкладывается вновь под новый простой процент.

Такая финансовая операция называется реинвестированием (или капитализацией) полученных на каждом этапе наращения средств.

Через время щ наращенная сумма станет равной величине: F1 = Р( 1+ после чего будет переоформлена на следующий срок

Через время п2 наращенная сумма станет равной величине:

Рассуждая аналогичным образом, получим формулу для нахождения наращенной суммы за время при реинвестировании:

Множитель представляет собой индекс роста суммы Р за время п.

Пример 2.8. По данным предыдущего примера найти наращенную сумму за два года, если одновременно с изменением ставки происходит капитализация процентного дохода.

Получили наращенную сумму больше, чем в предыдущем примере.

Потребительский кредит. Потребительским кредитом называется кредит, который предоставляет банк, финансовая компания или розничный торговец индивидууму на потребительские цели (например, для покупки предметов личного потребления).

Существуют несколько способов погашения потребительского кредита.

Равными выплатами. Предусматривает начисление процентов на всю сумму кредита и присоединение их к основному долгу в момент открытия кредита, причем погашение долга с процентами (наращенной суммы) происходит равными величинами в течение всего срока кредита.

Читайте также:  Стоит ли брать карту совесть

Если размер кредита равен Р, процентная ставка — г и срок кредита — п (в годах, необязательно целых), то наращенная сумма долга (F) определяется по формуле наращения по простым процентам:

Если в год предусмотрено (договором о кредите) т выплат, то величина (q) разового погасительного платежа равна:

При таком способе погашения кредита фактическая процентная ставка оказывается больше ставки г, предусмотренной при оформлении кредита, поскольку величина долга с течением времени (с каждым платежом) уменьшается, а проценты уже начислены на первоначальную величину кредита Р.

Пример 2.9. Товар ценой 3 тыс. руб. продается в кредит на 2 года под 12% годовых с равными ежеквартальными погасительными платежами. Определить долг с процентами, проценты и величину разового погасительного платежа.

По условию(число кварталов в

году).

По формуле наращения по простым процентам:

Правило 78. При погашении потребительского кредита равными платежами возникает задача определения доли каждой выплаты, идущей на погашение основного долга, и доли этой же выплаты, идущей на погашение начисленных процентов. Для решения такой задачи можно воспользоваться правилом 78, заключающимся в следующем.

Находим сумму порядковых номеров всех платежей. Например, пусть таких платежей будет 12, тогда 1 + 2 +. + 12 = 78.

Согласно правилу 78, часть первого погасительного платежа пойдет на выплату 12/78 от общей начисленной величины процентов (т. е. 12/78 • 7), а оставшаяся часть погасительного платежа

  • 12/78 * I) пойдет в счет выплаты основного долга. Часть второго погасительного платежа пойдет на выплату 11/78 от общей вычисленной величины процентов (т. е. 11/78 * I), а оставшаяся часть платежа
  • (д — 11/78 • I) пойдет в счет выплаты основного долга. Для третьего платежа надо взять дробь 10/78 и т. д. Очевидно, сумма всех дробей:

Процентные деньги 7 погашаются частями, уменьшающимися в арифметической прогрессии, а последняя выплата равна разности этой арифметической прогрессии (7/78).

Если в общем случае будет к запланированных платежей, то сумма порядковых номеров всех платежей

При использовании правила 78 необходимо последовательно брать дроби:

причем сумма всех этих дробей равна единице.

Пример 2.10. Составим план погашения кредита при условиях предыдущей задачи.

Так как запланировано к — 2-4 = 8 платежей, то К — (1 + 8) : : 2 • 8 = 36.

В таблице приведены результаты вычислений.

Остаток основного долга на начало квартала, тыс. руб.

Погашение общей величины начисленных процентов, тыс. руб.

Погашение основного долга, тыс. руб.

0,465 — 0,08 = 0,385

0,465 — 0,06 = 0,405

0,465 — 0,04 = 0,425

0,465 — 0,02 = 0,445

Пусть в данном примере после трех погасительных платежей было принято решение возвратить кредит раньше срока (если это предусмотрено договором). Определим приблизительно, какую сумму в счет оплаты процентов не придется отдавать. После трех погасительных платежей оплачено 0,16 тыс. руб. + 0,14 тыс. руб. + + 0,12 тыс. руб. = 0,42 тыс. руб. величины начисленных процентов, Оставшуюся часть начисленных процентов 0,72 тыс. руб. — — 0,42 тыс. руб. = 0,3 тыс. руб. не придется выплачивать.

При другом способе погашения кредита учитывается, что долг не является постоянной величиной, а с течением времени уменьшается, и процентные платежи за пользование потребительским кредитом рассчитываются каждый раз на оставшуюся часть долга. Сам же долг выплачивается равными суммами.

Ломбардный кредит. Ломбардный кредит представляет собой краткосрочный кредит под залог ценных бумаг, товаров и другого имущества. Как правило, срок ломбардного кредита не превышает трех месяцев. На практике величина выданного ломбардного кредита не превышает 80% номинальной стоимости залога.

В случае невыплаты заемщиком вовремя всего долга может быть предусмотрена возможность частичного погашения долга и продления срока кредита. Если превышен срок погашения кредита, то устанавливается более высокая процентная ставка, по которой заемщик и рассчитывается с кредитором за весь период просрочки.

При расчетах используется способ 365/360, т. е. учитывают точное количество дней, составляющих срок ломбардного кредита, и полагают, что в году 360 дней.

Пример 2.11. Клиент обратился в банк 12 апреля с целью получения кредита под залог 300 ценных бумаг, курсовая стоимость каждой из которых на этот день составляет 100 руб. Банк предоставляет кредит под 10% годовых на 3 месяца в размере 80% курсовой стоимости ценных бумаг. В контракте с клиентом оговаривается, что затраты банка на обслуживание долга составляют 1% от номинальной суммы кредита и удерживаются вместе с процентным платежом в момент предоставления кредита. В случае просрочки выплаты долга клиент рассчитывается с банком за каждый лишний день по ставке 12% годовых. Найти величину кредита, который получит клиент.

Курсовая стоимость всех ценных бумаг равна 100 * 300 =

Номинальная величина кредита Р = 30 000 * 0,8 = 24 000 руб.

Срок ломбардного кредита ^ = 193 — 102 = 91 день.

Процентный платеж за кредит

Затраты банка на обслуживание долга равны: 24 000 • 0,01 = = 240 руб.

Банк предварительно взыскивает процентный платеж и оплату за обслуживание долга, поэтому клиент получит кредит в размере P-I- 240 = 24 000 — 607 — 240 = 23 153 руб.

Предположим, клиент не сумел возвратить долг вовремя и собирается рассчитаться с банком 1 августа. Тогда процентный платеж за 20 просроченных дней по штрафной ставке составит: Клиент должен будет отдать банку руб.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector